sexta-feira, 3 de setembro de 2010

"ESTATÍSTICA NO EXCEL"

Como calcular médias, moda, mediana, variância e desvio-padrão no Excel

       Além da HP 12C, os administradores têm outra importante ferramenta para auxiliá-los na hora de fazer cálculos estatísticos, é o Excel. O Microsoft Office Excel é um programa de planilha eletrônica de cálculo, seus recursos incluem uma interface intuitiva e capacitadas ferramentas de cálculo e de construção de gráficos. Através deste programa podemos de forma fácil e simples calcular as médias, a moda, a mediana, a variância e o desvio-padrão, além de outros tantos cálculos.
      A partir de agora veremos no passo-a-passo como calcular cada uma dessas medidas estatísticas no EXCEL.


Médias

      Para calcularmos as médias no Excel devemos:
1. O primeiro passo para calcular as médias no Excel é organizar as informações necessárias na planinha, como mostra o exemplo abaixo:



2. Após isso se deve clicar na cédula onde se deseja que o resultado apareça e logo após clicar no item inserir funções (fx) que fica na parte superior do Excel.



3. Ao clicar nessa ferramenta irá aparecer na tela uma caixa de diálogo, quando ela surgir você deverá selecionar uma categoria, há várias categorias, mas a que nos interessa é a Estatística.



4. Após a realização desses passos é só selecionar a função que você deseja. Existem várias funções, mas no nosso caso, primeiramente, iremos calcular as médias e a primeira delas é a aritmética que no Excel aparece com o nome de média.



5. Após selecionar a função desejada é só clicar em OK. Ao fazer isso irá aparecer outra caixa de diálogo nomeada de ARGUMENTOS DA FUNÇÃO, agora devemos selecionar as cédulas que desejamos para a realização do cálculo, nesse exemplo são as cédulas B1, C1, D1, E1, F1 e G1.


6. Após termos as cédulas selecionadas é só clicar em OK novamente e teremos o resultado desejado.



  
      A mesma lógica serve para calcularmos as outras médias, só muda o fato de que devemos selecionar outra cédula para aparecer o resultado e que ao selecionarmos a função devemos clicar em MÉDIA.HARMÔNICA (para calcular a média harmônica) e MÉDIA.GEOMÉTRICA (para calcular média geométrica).



      No final obteremos os seguintes resultados:




Moda, mediana, variância e desvio-padrão

      Para calcularmos a moda, a mediana, a variância e desvio-padrão devemos seguir os passos descritos abaixo:
1° Inserir os dados necessários para a realização do calculo. Exemplo:



2° Selecionar a cédula onde resposta deverá aparecer e clicar em fx (inserir função).



3° Selecionar a categoria desejada que é Estatística e escolher uma função. Para calcularmos a moda devemos selecionar a função MODO, para obtermos a mediana devemos selecionar a função MED, para encontramos o valor da variância devemos selecionar a função VAR e para calcularmos o desvio-padrão devemos selecionar a função DESVPAD.









4° Após selecionada a função desejada é só clicar em OK e selecionar as cédulas que desejamos que façam parte do cálculo. Após isso clicamos em OK de novo e aparecerá o resultado na cédula que tínhamos selecionado antes.



      Os resultados obtidos serão os seguintes:



      Como podemos notar é bastante simples, fácil e rápido efetuar cálculos no Excel. Agora é só praticar e se divertir bastante! ;)


Fonte:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel

"MEDIDAS DE DISPERSÃO"

      Muitas vezes, a média não é suficiente para avaliar um conjunto de dados. Por exemplo, quando se fala em um grupo de mulheres com idade média de 18 anos. Esse dado, sozinho, não significa muito: pode ser que no grupo, muitas mulheres tenham 38 anos, e outras tantas sejam menininhas de dois!
      É importante, então, conhecer outra medida, a de que diferença (dispersão) existe entre a média e os valores do conjunto. Há dois tipos de medidas de dispersão a variância e o desvio-padrão.


VARIÂNCIA

      Na teoria da probabilidade e na estatística, a variância de uma variável aleatória é uma medida da sua dispersão estatística, indicando quão longe em geral os seus valores se encontram do valor esperado.


Variância da amostra e variância da população

      Em estatística, o conceito de variância também pode ser usado para descrever um conjunto de observações. Quando o conjunto das observações é uma população, é chamada de variância da população. Se o conjunto das observações é (apenas) uma amostra estatística, chamamos-lhe de variância amostral (ou variância da amostra).
      A variância amostral é a soma dos quadrados dividida pelo número de observações do conjunto menos uma. A variância é representada por s^2, sendo calculada pela fórmula:






Onde:

: é a média aritmética,
 n: é o número de elementos da amostra.

      O denominador “n – 1” da variância é determinado graus de liberdade. O principio dos graus de liberdade é constantemente utilizado na estatística. Considerando um conjunto de “n” observações (dados) e fixando uma média para esse grupo, existe a liberdade de escolher os valores numéricos de n-1 observações, o valor da última observação estará fixado para atender ao requisito de ser a soma dos desvios da média igual a zero. No caso especifico do cálculo da variância, diz-se que os “n” graus de liberdade originalmente disponíveis no conjunto sofreram a redução de uma unidade porque a média já foi calculada dos dados do grupo e aplicada na determinação da variância.
       Já a variância da população de uma população yi onde i = 1, 2, ...., N é dada por






onde μ é a média da população. Na prática, quando lidando com grandes populações, é quase sempre impossível achar o valor exato da variância da população, devido ao tempo, custo e outras restrições aos recursos.

Propriedades
  • Se a variância pode ser calculada, podemos concluir que ela nunca é negativa, porque os quadrados são sempre positivos ou nulos.
  • A unidade de variância é o quadrado da unidade de observação. Por exemplo, a variância de um conjunto de alturas medidas em centímetros será dada em centímetros quadrados.
  • Pode ser provado facilmente a partir da definição que a variância não depende do valor médio.


DESVIO-PADRÃO

      O desvio padrão é a medida mais comum e mais utilizada da dispersão estatística. O desvio padrão define-se como a raiz quadrada da variância. É definido desta forma de maneira a dar-nos uma medida da dispersão que:
  1. seja um número não negativo;
  2. use as mesmas unidades de medida que os nossos dados.
      Faz-se uma distinção entre o desvio padrão σ (sigma) do total de uma população ou de uma variável aleatória, e o desvio padrão s de um subconjunto em amostra.



Desvio padrão de uma população

      O desvio padrão de uma população X é definido como:




onde E(X) é o valor esperado de X.
      Nem todas as variáveis aleatórias possuem desvio padrão, porque esses valores esperados não precisam existir.


Desvio padrão amostral

      Se uma variável aleatória X toma os valores x1, ..., xn, então o desvio padrão para esta amostra de n números (ou desvio padrão amostral) pode ser calculado da seguinte forma. Primeiro calcula-se a média de X , através de:






      Depois, o desvio padrão amostral é calculado como:






Ou

s = √(var.)

      Só para se ter uma idéia melhor do que significa o desvio padrão veja o seguinte exemplo:
Notas: (9, 9, 9, 1, 1, 1)
A média será:
M = 9+9+9+1+1+1 = 5
                6

E o desvio padrão amostral será:
S = √(var.), onde variância será igual à:
s^2 = ((9-5)^2+ (9-5)^2 + (9-5)^2+ (1-5)^2+ (1-5)^2+ (1-5)^2)/(6-1) = 19,2.

obs.: s^2 = a s ao quadrado, a mesma coisa com números, exemplo: 2^2 simboliza dois ao quadrado que é quatro.

Logo s = √19,2 = 4,38.
       Note que, apesar desse aluno ter tido média 5, seu desempenho foi muito irregular (variou de 4 pontos), o que não é tão bom assim.


Como calcular desvio-padrão na HP 12C

      Há uma maneira simples e fácil de calcular o desvio-padrão utilizando a HP 12C, é só seguir os passos. Vamos utilizar como base o exemplo acima:
Notas: (9, 9, 9, 1, 1, 1)
1º passo: apertar o número 9 e logo após o símbolo do somatório mais;
2° passo: inserir o 9 e o símbolo do somatório mais;
3° passo: apertar o número 9 e logo após o símbolo do somatório mais;
4° passo: inserir o número 1 e logo após o símbolo do somatório mais;
5° passo: apertar o 1 e logo depois o símbolo do somatório mais;
6° passo: apertar o número 1 e logo após o símbolo do somatório mais;
7° passo: apertar o g e o . (ponto).
     Isso nos dará o desvio-padrão desejado. Faça na sua HP 12C e confira!


Exemplos de variância e desvio-padrão

1) Calcule a variância amostral e o desvio-padrão das amostras abaixo:
A: 6 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6
B: 7 – 6 – 5 – 2 – 8 – 9
C: 4 – 5 – 5 – 6 – 8 – 7

Amostra A
Média = 6
s^2 = {(6 – 6)² + (6 – 6)² + (6 – 6)² + (6 – 6)² + (6 – 6)² + (6 – 6)²} / 6-1 = 0
s = √0 = 0

Amostra B
Média = 6,17

s^2 = {(7 – 6,17)² + (6 – 6,17)² + (5 – 6,17)² + (2 – 6,17)² + (8 – 6,17)² + (9 – 6,17)²} / 5 = 6,17

*Na HP 12C:
7 → ENTER → 6,17 → – → 2 → yx → + → 6 → ENTER → 6,17 → – → 2 → yx → + → 5 → ENTER → 6,17 → – → 2 → yx → + → 2 → ENTER → 6,17 → – → 2 → yx → + → 8 → ENTER → 6,17 → – → 2 → yx → + → 9 → ENTER → 6,17 → – → 2 → yx → + → 5 → /
yx = y elevado a x
/ = dividir

S = √6,17 = 2,48

*Na HP 12C
7 → somatório mais → 6 → somatório mais → 5 → somatório mais → 2 → somatório mais → 8 → somatório mais → 9 → somatório mais → g → .

Turma C
Média = 5,83

s^2 = {(4 – 5,83)² + (5 – 5,83)² + (5 – 5,83)² + (6 – 5,83)² + (8 – 5,83)² + (7 – 5,83)²} / 5 = 2,17

*Na HP 12C
4 → ENTER → 5,83 → – → 2 → yx → + → 5 → ENTER → 5,83 → – → 2 → yx → + → 5 → ENTER → 5,83 → – → 2 → yx → + → 6 → ENTER → 5,83 → – → 2 → yx → + → 8 → ENTER → 5,83 → – → 2 → yx → + → 7 → ENTER → 5,83 → – → 2 → yx → + → 5 → /

S = √2,17 = 1,47

*Na HP 12C
4 → somatório mais → 5 → somatório mais → 5 → somatório mais → 6 → somatório mais → 8 → somatório mais → 7 → somatório mais → g → .


Conclusão

Turma A: teve valor nulo, isso indica que os alunos possuem rendimentos iguais.

Turmas B e D: essas duas tiveram valores altos como resultado, isso se deve à presença de alunos com desempenhos extremos – bons ou ruins.

Turma C: obteve um valor considerado baixo, dessa forma avaliamos como uma turma na qual a diferença entre a maior e a menor nota é pequena.

2) O diretor “Dorta” recebeu os dados de produtividade (dia) de uma determinada máquina. O diretor demonstrou interesse em comprar a máquina A (mais barata). Mas, antes de tomar a decisão solicitou o seu parecer (Administrador de produção). Qual a sua sugestão de compra (máquina A ou B)? Justifique do ponto de vista estatístico.


Número de Observação
Máquina A
Máquina B
1
9
6,5
2
9
9
3
6,5
9,5
4
8,5
10
5
10
8

Ma = 9+9+6,5+8,5+10 = 8,6
                    5
Mb = 6,5+9+9,5+10+8 = 8,6
                     5
Sa = 1,29
Sb = 1,39
    
      Nota-se que a média de produtividade das duas máquinas são iguais, logo a maneira mais adequada de analisar qual é a melhor é através do cálculo do desvio-padrão. Pelo resultado apresentado a melhor máquina, estatisticamente falando, é a máquina A, pois ela possui menor dispersão (desvio-padrão) que a máquina B, prontamente ela apresentará melhor qualidade.


P.S. = quanto maior a dispersão menor será a qualidade do produto avaliado e vice-versa, quanto menor a dispersão maior será a qualidade.


Fontes:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A2ncia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Desvio_padr%C3%A3o
http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1705u28.jhtm

quarta-feira, 1 de setembro de 2010

"COMO CALCULAR AS MÉDIAS COM A HP 12C"

      Como já foi dito nesse blog a HP 12C facilita cálculos financeiros, ela nos ajudar a calcular de forma simples e rápida as médias (aritmética, geométrica, harmônica e ponderada). A seguir veremos, no passo-a-passo, como calcular essas médias na calculadora HP 12C:


Média aritmética
      Para calcularmos a média aritmética na HP 12 C temos que adotar os passos seguintes:
1°: devemos introduzir os números que integram a amostra na HP 12C (um de cada vez) seguidos do símbolo do somatório mais, ou seja, tecla-se um número e o somatório mais, outro número e o somatório mais e assim sucessivamente, até todos os números da amostra estarem registrados.
2°: depois de todos os números estarem registrados na calculadora, para obtermos a média aritmética, devemos apertar a tecla g e depois o 0 (zero), logo aparecerá o resultado no visor da HP 12C.

Exemplo:
1)    Determine a média dos números 3, 4, 10, 12 e 14.
RESPOSTA: Para encontrarmos essa média na HP 12C devemos fazer o seguinte:
1° - clicamos no número 3 e logo após no somátorio mais;
2° - clica-se no 4 e logo após no somatório mais;
3° - apertamos o 10 e o somatório mais ;
4° - inserimos o 12 e o somatório mais;
5° - clicamos no 14 e logo após no somatório mais ;
6° - clicamos no g e logo após no zero (0) e obteremos o resultado que será 8,6.

Símbolo do Somatório mais na HP 12C

      Simples não é?!


Média Harmônica
      Para encontramos a média harmônica com a HP 12C devemos fazer o seguinte:

Ex. 1: Encontre a média harmônica entre os números 1, 3, 5 e 7.     
      Sabemos que a equação ficará da seguinte forma: 
 Xh =             4             
           1+1/3+1/5+1/7
para inserirmos essa equação na HP 12C devemos seguir os seguintes passos:
1° - inserimos o 4 e logo após clicamos o ENTER;
2° - inserimos o 1 e apertamos novamente o ENTER;
3° - apertamos o 3 depois o 1/x (para inverter o número para 1/3) e depois o sinal de mais (+);
4° - logo após inserimos o número 5 apertamos no 1/x  e clicamos no +;
5° - clicamos no 7 depois no 1/x e depois no + e no sinal de dividir. 
      Após esses passos teremos o resultado exposto no visor da calculadora, que é igual a 2,39.

Ex. 2: Determine a média harmônica entre os números 2, 6 e 10.
PARA CALCULAR NA HP 12C:
3 → ENTER → 2 → 1/x → ENTER → 6 → 1/x → + → 10 → 1/x→ +→ /
 
/: dividir
      Isso será igual a 3,91.

  O 1/x na HP 12C




Média Geométrica
      Para calcularmos a média geométrica na calculadora HP 12C é só fazer o seguinte: efetuar a multiplicação entre os termos da amostra, apertar o ENTER, inserir o número de índice da raiz (que é igual ao número de elementos da amostra), clicar no 1/x e depois o y elevado a x.

Tecla que eleva y a x na HP 12C 
Exemplo:
1)    Calcule a média geométrica da amostra: {2, 5, 10}.
Na HP 12C seguimos os passos:
1° - clicamos no 2 e apertamos o ENTER;
2° - apertamos o 5 e o ENTER;
3° - inserimos o 10 e apertamos o botão de multiplicação (x) duas vezes;
4° - inserimos o índice da equação que nesse caso é o 3 apertamos o 1/x e em seguida o y elevado a x .

2)    Encontre a média geométrica entre os números 3, 9 e 18.
Na HP 12C:
3 → ENTER → 9 → ENTER → 18 → x → x → 3 → 1/x→ y elevado a x.  
O resultado será igual a 7,86.

OBS: sempre apagar as memórias da calculadora antes de iniciar um novo cálculo apertando o f e o CLX.

 CLX - HP 12C