A moda e a mediana são, assim como a média, medidas de tendência central de um conjunto de dados. São chamadas também de medidas de posição, pois servem para "resumir", em apenas uma informação, a característica desse conjunto de dados.
Dependendo da situação, é mais conveniente usar a média, a moda ou a mediana.
Moda
Moda é a medida de tendência central que consiste no valor observado com mais frequência em um conjunto de dados.
Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana.
Se um determinado time fez, em dez partidas, a seguinte quantidade de gols: 3, 2, 0, 3, 0, 4, 3, 2, 1, 3, 1; a moda desse conjunto é de 3 gols.
Se uma linha de ônibus registra, em quinze ocasiões, os tempos de viagens, em minutos: 52, 50, 55, 53, 61, 52, 52, 59, 55, 54, 53, 52, 50, 51, 60; a moda desse conjunto é de 52 minutos.
As alturas de um grupo de pessoas são: 1,82 m; 1,75 m; 1,65 m; 1,58 m; 1,70 m. Nesse caso, não há moda, porque nenhum valor se repete.
Uma amostra pode apresentar nenhuma, uma, duas ou mais modas. De acordo com a freqüência de modas que aparece em uma amostragem ela pode ser:
- Amodal: é uma amostra que não tem moda. Ex.: {1,2,3,4,5};
- Unimodal: é uma amostra que possui somente uma moda. Ex.: {1,1,2,3,4,5};
- Bimodal: é uma amostra que tem duas modas. Ex.: {1,1,2,2,3,4,5};
- Multimodal: é uma amostra que tem mais do que duas modas. Ex.: {1,1,2,2,3,3,4,5}.
- Características e emprego da moda
* Em se tratando de dados agrupados, é fortemente afetado pela maneira como as classes são constituídas. Isto faz com que distribuições de frequência do mesmo conjunto de dados elaboradas de formas diferentes (com número de classes diferentes) podem representar valores modais diferentes. Portanto, o valor calculado pela fórmula pode não apontar o verdadeiro valor modal dos dados agrupados.
*Não é afetada pelos valores extremos da distribuição, desde que esses valores não constituam o valor modal.
*É empregada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição.
*É empregada muito na estatística econômica e industrial.
Mediana
Em teoria da probabilidade e em estatística, a mediana é uma medida de tendência central que indica exatamente o valor central de uma amostra de dados.
A mediana pode ser calculada para um conjunto de observações ou para funções de distribuição de probabilidade.
Para a determinação da mediana utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos:
- Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio.
- Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.
Exemplos:
As notas de um aluno em um semestre da faculdade, colocadas em ordem crescente, foram: 4,0; 4,0; 5,0; 7,0; 7,0. São cinco notas. A mediana é o valor que está no centro da amostra, ou seja, 5,0. Podemos afirmar que 40% das notas estão acima de 5,0 e 40% estão abaixo de 5,0.
A quantidade de hotéis 3 estrelas espalhados pelas cidades do litoral de um determinado Estado é: 1, 2, 3, 3, 5, 7, 8, 10, 10, 10. Como a amostra possui dez valores e, portanto, não há um valor central, calculamos a mediana tirando a média dos dois valores centrais:
Assim, há exatamente 50% das cidades com mais de 6 hotéis três estrelas e 50% das cidades com menos de 6 hotéis três estrelas.
Dessa forma, podemos resumir o cálculo da mediana da seguinte forma:
- os valores da amostra devem ser colocados em ordem crescente ou decrescente;
- se a quantidade de valores da amostra for ímpar, a mediana é o valor central da amostra. Nesse caso, há a mesma quantidade de valores acima e abaixo desse valor;
- se a quantidade de valores da amostra for par, é preciso tirar a média dos valores centrais para calcular a mediana. Nesse caso, 50% dos valores da amostra estão abaixo e 50% dos valores da amostra estão acima desse valor;
- há, também, formas de calcular a posição em que a mediana se localiza na amostra. Para amostras ímpares a fórmula para achar a localização da mediana é a seguinte: m= (n+1)/2 , onde n é o número de elementos da amostra. Para amostras pares a fórmula é a seguinte: m= (n/2+(n/2+1))/2, onde n é o número de elementos da amostra.
Exemplos:
1) {1,3,5}: m = (3+1)/2 = 2, logo o segundo elemento da amostra corresponde a mediana que é 3;
2) {0,2,4,5}: m = (4/2+(4/2+1))/2 = (2+(2+1))/2 = (2+3)/2 , logo a mediana será o valor da média entre o segundo e o terceiro elemento, que será: (2+4)/2 = 3
Considerações a respeito de Média e Mediana
Se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n , X2:n , ... , Xn:n
então uma expressão para o cálculo da mediana será:
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados.
1- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem.
2- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes. Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações.
Como já vimos, a média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores "muito grandes" ou "muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana.
A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados:
1. for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana
2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes), a média tende a ser maior que a mediana
3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos), a média tende a ser inferior à mediana.
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