"Médias"

Média aritmética simples

A média aritmética simples também é conhecida apenas por média e é o resultado da divisão da soma de n valores por n. 

Por exemplo:

1) A média entre 5, 10 e 6 será:

observe o que foi feito, somamos os três números (5, 10 e 6) e dividimos pela quantidade de números (3).


2)    O time de futebol do Santa Cruz,  fez 6 partidas amistosas, obtendo os seguintes resultados, 4 x 2, 4 x 3, 2 x 5, 6 x 0, 5 x 3, 2 x 0. Qual a média de gols marcados nestes amistosos?

Média aritmética ponderada

          Nos cálculos envolvendo média arirmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o mesmo peso relativo. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada.
          Neste tipo de média aritmética, cada número que fará parte da média terá um peso. Este peso será multiplicado pelo número, que serão somados e divididos depois pela soma dos pesos. Veja os exemplos:

1)

2) Um colégio resolveu inovar a forma de calcular a  média final de seus alunos. Estipulando um peso para cada bimestre da seguinte forma:

Bimestre	Peso
1°	2
2°	2
3°	3
4°	3

 

Vamos calcular a média anual de Ricardo que obteve as seguintes notas em Historia:

Bimestre	Notas
1°	3
2°	2,5
3°	3,5
4°	3

Mp = (2x3)+(2x2,5)+(3x3,5)+(3x3) = 6+5+10,5+9 = 30,5 = 3,05
                      2+2+3+3                             10               10

    Este tipo de média é  muito usada nos vestibulares, você já deve ter ouvido algum colega falar assim, a prova de Matemática para quem faz engenharia é peso 3 e Historia é peso 1, isto é devido a engenharia ser um curso ligado a ciências exatas. Este peso varia de acordo com a área de atuação do curso.




Média Geométrica

      

    Entre n valores (não negativos), é a raiz de índice n  do produto desses valores. Veja no exemplo, a média geométrica entre 1, 2 e 4:

   A média geométrica de um conjunto de números é sempre menor ou igual à média aritmética dos membros desse conjunto (as duas médias são iguais se e somente se todos os membros do conjunto são iguais).

Utilidades da Média Geométrica

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

     Uma das utilizações deste tipo de média é na definição de uma progressão geométrica que diz que em toda P.G., qualquer termo é média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente:

     Tomemos como exemplo três termos consecutivos de uma P.G.: 7, 21 e 63. Temos então que o termo 21 é média geométrica dos termos 7 e 63.

Vejamos:

VARIAÇÕES PERCENTUAIS

     
    Outra utilização para este tipo de média é quando estamos trabalhando com variações percentuais em sequência.
     Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta categoria?
    Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são fatores correspondentes a tais percentuais.
     A partir dai podemos calcular a média geométrica destes fatores:

       


    Como sabemos, um fator de 1,128741 corresponde a 12,8741% de aumento. Este é o valor percentual médio mensal do aumento salarial, ou seja, se aplicarmos três vezes consecutivas o percentual de 12,8741% no final terermos o mesmo resultado que se tivéssemos aplicado os percentuais 20%, 12% e 7%.

    Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1.000,00 aplicando-se os sucessivos aumentos temos:

Salário inicial	+ % informado	Salário final	//	Salário inicial	+ % médio	Salário final
R$ 1.000,00	20%	R$ 1.200,00		R$ 1.000,00	12,8417%	R$ 1.128,74
R$ 1.200,00	12%	R$ 1.344,00		R$ 1.128,74	12,8417%	R$ 1.274,06
R$ 1.344,00	7%	R$ 1.438,08		R$ 1.274,06	12,8417%	R$ 1.438,08

   Observe que o resultado final de R$ 1.438,08 é o mesmo nos dois casos.




Média harmônica

  A média harmônica dos números reais positivos é definida como sendo o número de membros dividido pela soma do inverso dos membros. Por exemplo, a média harmônica entre 2, 6 e 8 será:

         

   
    A média harmônica nunca é maior do que a média geométrica ou do que a média aritmética.
   Utilizamos a Média Harmônica quando estamos tratando de observações de grandezas inversamente proporcionais como por exemplo, velocidade e tempo. A média harmônica é particulamente recomendada para uma série de valores que são inversamente proporcionais, como para o cálculo da velocidade média, custo médio de bens comprados com uma quantia fixa.

Conclusões:

        Em todas as médias o resultado estará entre o maior e o menor número dado.

        Para os mesmos valores, a média aritmética terá o maior valor, seguida da média geométrica e depois a média harmônica.
       Entre todas as médias apresentadas a de maior importância é a média aritmética simples, pois ela é a medida de posição mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia que qualquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência.

        

Fontes:

http://www.infoescola.com/matematica/medias-aritmetica-geometrica-harmonica/

http://www.mundovestibular.com.br/articles/60/1/MEDIA-ARITMETICA/Paacutegina1.html

http://www.somatematica.com.br/fundam/medias.php

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_geom%C3%A9trica

http://www.matematicadidatica.com.br/MediaGeometria.aspx 

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_harm%C3%B4nica